高等代数(六)-线性空间03：维数、基与坐标

2025-11-16 10:21:19

§ 3 维数 - 基与坐标

定义 2

设 VVV 是数域 PPP 上的一个线性空间，α1,α2,⋯ ,αr(r⩾1)\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}(r \geqslant 1)α1​,α2​,⋯,αr​(r⩾1) 是 VVV 中一组向量，k1,k2,⋯ ,krk_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}k1​,k2​,⋯,kr​ 是数域 PPP 中的数，那么向量

α=k1α1+k2α2+⋯+krαr\boldsymbol{\alpha}=k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{r} \boldsymbol{\alpha}_{r}α=k1​α1​+k2​α2​+⋯+kr​αr​

称为向量组 α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}α1​,α2​,⋯,αr​ 的一个线性组合。此时我们也说向量 α\boldsymbol{\alpha}α 可以经向量组 α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}α1​,α2​,⋯,αr​ 线性表出。

定义 3

设

α1,α2,⋯ ,αr;β1,β2,⋯ ,βs\begin{array}{c}

\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r} ; \\

\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}

\end{array}α1​,α2​,⋯,αr​;β1​,β2​,⋯,βs​​

是 VVV 中两个向量组。如果 (1) 中每个向量都可以经向量组 (2) 线性表出，那么称向量组 (1) 可以经向量组 (2) 线性表出。如果 (1) 与 (2) 可以互相线性表出，那么向量组 (1) 与 (2) 称为等价的。

定义 4

线性空间 VVV 中向量 α1,α2,⋯ ,αr(r⩾1)\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}(r \geqslant 1)α1​,α2​,⋯,αr​(r⩾1) 称为线性相关，如果在数域 PPP 中有 rrr 个不全为零的数 k1,k2,⋯ ,krk_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}k1​,k2​,⋯,kr​，使

k1α1+k2α2+⋯+krαr=0(3)k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{r} \boldsymbol{\alpha}_{r}=\mathbf{0} \quad (3)k1​α1​+k2​α2​+⋯+kr​αr​=0(3)

如果向量 α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}α1​,α2​,⋯,αr​ 不线性相关，就称为线性无关。换句话说，向量组 α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}α1​,α2​,⋯,αr​ 称为线性无关，如果等式 (3) 只有在 k1=k2=⋯=kr=0k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{r}=0k1​=k2​=⋯=kr​=0 时才成立。

以上定义是大家过去已经熟悉的，它们是逐字逐句地重复了 nnn 元数组相应概念的定义。不仅如此，在第三章中，从这些定义出发对 nnn 元数组所作的那些论证也完全可以搬到数域 PPP 上的抽象的线性空间中来并得出相同的结论。

我们不再重复这些论证，只是把几个常用的结论叙述如下：

重要结论

单个向量 α\boldsymbol{\alpha}α 是线性相关的充分必要条件是 α=0\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}α=0。两个以上的向量 α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}α1​,α2​,⋯,αr​ 线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合。

如果向量组 α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}α1​,α2​,⋯,αr​ 线性无关，而且可以经 β1,β2,⋯ ,βs\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}β1​,β2​,⋯,βs​ 线性表出，那么 r⩽sr \leqslant sr⩽s。

由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必定含有相同个数的向量。

如果向量组 α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}α1​,α2​,⋯,αr​ 线性无关，但向量组 α1,α2,⋯ ,αr,β\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}, \boldsymbol{\beta}α1​,α2​,⋯,αr​,β 线性相关，那么 β\boldsymbol{\beta}β 可以经 α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}α1​,α2​,⋯,αr​ 线性表出，而且表法是唯一的。

我们知道，对于几何空间中的向量，线性无关的向量最多是 3 个，而任意 4 个向量都是线性相关的。对于 nnn 元数组所成的向量空间，有 nnn 个线性无关的向量，而任意 n+1n+1n+1 个向量都是线性相关的。在一个线性空间中，究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性。我们引入

定义 5

如果在线性空间 VVV 中有 nnn 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么 VVV 就称为 nnn 维的；如果在 VVV 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么 VVV 就称为无限维的。

按照这个定义，不难看出：

几何空间中向量所成的线性空间是三维的nnn 元数组所成的空间是 nnn 维的由所有实系数多项式所成的实线性空间是无限维的，因为对于任意的 nnn，都有 nnn 个线性无关的向量：

1,x,⋯ ,xn−11, x, \cdots, x^{n-1}1,x,⋯,xn−1

无限维空间是一个专门研究的对象，它与有限维空间有比较大的差别。但是上面提到的线性表出、线性相关、线性无关等性质，只要不涉及维数和基，就对无限维空间成立。在本课程中，我们主要讨论有限维空间。

在解析几何中我们看到，为了研究向量的性质，引入坐标是一个重要的步骤。对于有限维线性空间，坐标同样是一个有力的工具。

定义 6

在 nnn 维线性空间 VVV 中，nnn 个线性无关的向量 ε1,ε2,⋯ ,εn\boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}ε1​,ε2​,⋯,εn​ 称为 VVV 的一组基。

设 α\boldsymbol{\alpha}α 是 VVV 中任一向量，于是 ε1,ε2,⋯ ,εn,α\boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}, \boldsymbol{\alpha}ε1​,ε2​,⋯,εn​,α 线性相关，因此 α\boldsymbol{\alpha}α 可以经 ε1,ε2,⋯ ,εn\boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}ε1​,ε2​,⋯,εn​ 线性表出，即

α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn\boldsymbol{\alpha}=a_{1} \boldsymbol{\varepsilon}_{1}+a_{2} \boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+a_{n} \boldsymbol{\varepsilon}_{n}α=a1​ε1​+a2​ε2​+⋯+an​εn​

其中系数 a1,a2,⋯ ,ana_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}a1​,a2​,⋯,an​ 是被向量 α\boldsymbol{\alpha}α 和基 ε1,ε2,⋯ ,εn\boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}ε1​,ε2​,⋯,εn​ 唯一确定的，这组数就称为 α\boldsymbol{\alpha}α 在基 ε1,ε2,⋯ ,εn\boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}ε1​,ε2​,⋯,εn​ 下的坐标，记为 (a1,a2,⋯ ,an)(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})(a1​,a2​,⋯,an​)。

由以上定义看来，在给出空间 VVV 的一组基之前，必须先确定空间 VVV 的维数。实际上，这两个问题常常是同时解决的。

定理 1

如果在线性空间 VVV 中有 nnn 个线性无关的向量 α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}α1​,α2​,⋯,αn​，且 VVV 中任一向量都可以经它们线性表出，那么 VVV 是 nnn 维的，而 α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}α1​,α2​,⋯,αn​ 就是 VVV 的一组基。

证明 既然 α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}α1​,α2​,⋯,αn​ 是线性无关的，那么 VVV 的维数至少是 nnn。为了证明 VVV 是 nnn 维的，只需证 VVV 中任意 n+1n+1n+1 个向量必定线性相关。

设 β1,β2,⋯ ,βn+1\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n+1}β1​,β2​,⋯,βn+1​ 是 VVV 中任意 n+1n+1n+1 个向量，它们可以经 α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}α1​,α2​,⋯,αn​ 线性表出。假如它们线性无关，就有 n+1⩽nn+1 \leqslant nn+1⩽n，于是得出矛盾。 □\square□

例题

例 1

在线性空间 P[x]nP[x]_{n}P[x]n​ 中，

1,x,x2,⋯ ,xn−11, x, x^{2}, \cdots, x^{n-1}1,x,x2,⋯,xn−1

是 nnn 个线性无关的向量，而且每一个次数小于 nnn 的数域 PPP 上的多项式都可以经它们线性表出，所以 P[x]nP[x]_{n}P[x]n​ 是 nnn 维的，而 1,x,⋯ ,xn−11, x, \cdots, x^{n-1}1,x,⋯,xn−1 就是它的一组基。

在这组基下，多项式 f(x)=a0+a1x+⋯+an−1xn−1f(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}f(x)=a0​+a1​x+⋯+an−1​xn−1 的坐标就是它的系数 (a0,a1,⋯ ,an−1)(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1})(a0​,a1​,⋯,an−1​)。

如果在 VVV 中取另外一组基

ε1′=1,ε2′=x−a,⋯ ,εn′=(x−a)n−1\boldsymbol{\varepsilon}_{1}^{\prime}=1, \quad \boldsymbol{\varepsilon}_{2}^{\prime}=x-a, \quad \cdots, \quad \boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{\prime}=(x-a)^{n-1}ε1′​=1,ε2′​=x−a,⋯,εn′​=(x−a)n−1

那么按泰勒展开公式

f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+⋯+f(n−1)(a)(n−1)!(x−a)n−1f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1) !}(x-a)^{n-1}f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+⋯+(n−1)!f(n−1)(a)​(x−a)n−1

因此，f(x)f(x)f(x) 在基 ε1′,ε2′,⋯ ,εn′\boldsymbol{\varepsilon}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{\prime}ε1′​,ε2′​,⋯,εn′​ 下的坐标是

(f(a),f′(a),⋯ ,f(n−1)(a)(n−1)!)\left(f(a), f^{\prime}(a), \cdots, \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1) !}\right)(f(a),f′(a),⋯,(n−1)!f(n−1)(a)​)

例 2

在 nnn 维空间 PnP^{n}Pn 中，显然

{ε1=(1,0,⋯ ,0),ε2=(0,1,⋯ ,0),⋮εn=(0,0,⋯ ,1)\left\{\begin{aligned}

\boldsymbol{\varepsilon}_{1} &= (1,0, \cdots, 0), \\

\boldsymbol{\varepsilon}_{2} &= (0,1, \cdots, 0), \\

&\vdots \\

\boldsymbol{\varepsilon}_{n} &= (0,0, \cdots, 1)

\end{aligned}\right.⎩⎨⎧​ε1​ε2​εn​​=(1,0,⋯,0),=(0,1,⋯,0),⋮=(0,0,⋯,1)​

是一组基。对每一个向量 α=(a1,a2,⋯ ,an)\boldsymbol{\alpha}=(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})α=(a1​,a2​,⋯,an​)，都有

α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn\boldsymbol{\alpha}=a_{1} \boldsymbol{\varepsilon}_{1}+a_{2} \boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+a_{n} \boldsymbol{\varepsilon}_{n}α=a1​ε1​+a2​ε2​+⋯+an​εn​

所以 (a1,a2,⋯ ,an)(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})(a1​,a2​,⋯,an​) 就是向量 α\boldsymbol{\alpha}α 在这组基下的坐标。

不难证明，

{ε1′=(1,1,⋯ ,1),ε2′=(0,1,⋯ ,1),⋮εn′=(0,0,⋯ ,1)\left\{\begin{array}{c}

\boldsymbol{\varepsilon}_{1}^{\prime}=(1,1, \cdots, 1), \\

\boldsymbol{\varepsilon}_{2}^{\prime}=(0,1, \cdots, 1), \\

\vdots \\

\boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{\prime}=(0,0, \cdots, 1)

\end{array}\right.⎩⎨⎧​ε1′​=(1,1,⋯,1),ε2′​=(0,1,⋯,1),⋮εn′​=(0,0,⋯,1)​

是 PnP^{n}Pn 中 nnn 个线性无关的向量。在基 ε1′,ε2′,⋯ ,εn′\boldsymbol{\varepsilon}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{\prime}ε1′​,ε2′​,⋯,εn′​ 下，对于向量 α=(a1,a2,⋯ ,an)\boldsymbol{\alpha}=(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})α=(a1​,a2​,⋯,an​)，有

α=a1ε1′+(a2−a1)ε2′+⋯+(an−an−1)εn′\boldsymbol{\alpha}=a_{1} \boldsymbol{\varepsilon}_{1}^{\prime}+(a_{2}-a_{1}) \boldsymbol{\varepsilon}_{2}^{\prime}+\cdots+(a_{n}-a_{n-1}) \boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{\prime}α=a1​ε1′​+(a2​−a1​)ε2′​+⋯+(an​−an−1​)εn′​

因此，α\boldsymbol{\alpha}α 在基 ε1′,ε2′,⋯ ,εn′\boldsymbol{\varepsilon}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{\prime}ε1′​,ε2′​,⋯,εn′​ 下的坐标为

(a1,a2−a1,⋯ ,an−an−1)(a_{1}, a_{2}-a_{1}, \cdots, a_{n}-a_{n-1})(a1​,a2​−a1​,⋯,an​−an−1​)

例 3

如果把复数域看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数 1 就是一组基；如果看作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数 1 与 i\mathrm{i}i 就是一组基。这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的。

应用举例：斐波那契数列及基的概念的应用

实数序列 (hn)=(h0,h1,h2,⋯ )(h_{n})=(h_{0}, h_{1}, h_{2}, \cdots)(hn​)=(h0​,h1​,h2​,⋯) 满足 h0=h1=1h_{0}=h_{1}=1h0​=h1​=1，且

hn=hn−2+hn−1,n⩾2(4)h_{n}=h_{n-2}+h_{n-1}, \quad n \geqslant 2 \quad (4)hn​=hn−2​+hn−1​,n⩾2(4)

这个序列称为斐波那契数列，它是由 h0,h1h_{0}, h_{1}h0​,h1​ 及递推关系 (4) 所决定的。易见所有 hnh_{n}hn​ 都是正整数。能否找到一个统一的表达式来计算所有的 hnh_{n}hn​ 呢？

下面我们用线性空间和基为工具来解决它，以后我们在第七章末尾利用矩阵的对角化的工具给出这问题的另一种解法。

我们将所有满足递推关系 (4) 的序列的集合记作 V(R)V(\mathbf{R})V(R)。两个序列 (hn),(hn′)∈V(R)(h_{n}), (h_{n}^{\prime}) \in V(\mathbf{R})(hn​),(hn′​)∈V(R)，k∈Rk \in \mathbf{R}k∈R，令 ln=hn+hn′l_{n}=h_{n}+h_{n}^{\prime}ln​=hn​+hn′​，kn=khnk_{n}=k h_{n}kn​=khn​ (n=0,1,2,⋯ )(n=0,1,2, \cdots)(n=0,1,2,⋯)。(ln),(kn)(l_{n}), (k_{n})(ln​),(kn​) 仍满足关系 (4)，即 (ln),(kn)∈V(R)(l_{n}), (k_{n}) \in V(\mathbf{R})(ln​),(kn​)∈V(R)，记 (ln)=(hn)+(hn′)(l_{n})=(h_{n})+(h_{n}^{\prime})(ln​)=(hn​)+(hn′​)，称为 (hn)(h_{n})(hn​) 与 (hn′)(h_{n}^{\prime})(hn′​) 的和。又记 (kn)=k(hn)(k_{n})=k(h_{n})(kn​)=k(hn​)，称为 (hn)(h_{n})(hn​) 的 kkk 倍。这就在 V(R)V(\mathbf{R})V(R) 中定义了加法和数量乘法。和有限维向量空间 PnP^{n}Pn 一样，V(R)V(\mathbf{R})V(R) 构成实数域 R\mathbf{R}R 上线性空间。

虽然它的元素是无限序列，但下面可证它是 R\mathbf{R}R 上二维空间。首先对 (hn),(hn′)∈V(R)(h_{n}), (h_{n}^{\prime}) \in V(\mathbf{R})(hn​),(hn′​)∈V(R) 有，(hn)=(hn′)(h_{n})=(h_{n}^{\prime})(hn​)=(hn′​)（即 hn=hn′,n=0,1,2,⋯h_{n}=h_{n}^{\prime}, n=0,1,2, \cdotshn​=hn′​,n=0,1,2,⋯）当且仅当 h0=h0′,h1=h1′h_{0}=h_{0}^{\prime}, h_{1}=h_{1}^{\prime}h0​=h0′​,h1​=h1′​。这是由于 (4)，若 h0=h0′,h1=h1′h_{0}=h_{0}^{\prime}, h_{1}=h_{1}^{\prime}h0​=h0′​,h1​=h1′​，则所有 hn=hn′h_{n}=h_{n}^{\prime}hn​=hn′​ (n=0,1,2,⋯ )(n=0,1,2, \cdots)(n=0,1,2,⋯)。

其次在 R2\mathbf{R}^{2}R2 中选任一基 (k0,k1)(k_{0}, k_{1})(k0​,k1​) 及 (k0′,k1′)(k_{0}^{\prime}, k_{1}^{\prime})(k0′​,k1′​)，它们用递推公式 (4) 决定了两个序列 (kn),(kn′)∈V(R)(k_{n}), (k_{n}^{\prime}) \in V(\mathbf{R})(kn​),(kn′​)∈V(R)。由于 (k0,k1)(k_{0}, k_{1})(k0​,k1​) 与 (k0′,k1′)(k_{0}^{\prime}, k_{1}^{\prime})(k0′​,k1′​) 无关，故 (kn),(kn′)(k_{n}), (k_{n}^{\prime})(kn​),(kn′​) 无关。任一 (hn)∈V(R)(h_{n}) \in V(\mathbf{R})(hn​)∈V(R)，因 (k0,k1)(k_{0}, k_{1})(k0​,k1​) 与 (k0′,k1′)(k_{0}^{\prime}, k_{1}^{\prime})(k0′​,k1′​) 是 R2\mathbf{R}^{2}R2 的基，必有 a0,a1a_{0}, a_{1}a0​,a1​，使

(h0,h1)=a0(k0,k1)+a1(k0′,k1′)(h_{0}, h_{1})=a_{0}(k_{0}, k_{1})+a_{1}(k_{0}^{\prime}, k_{1}^{\prime})(h0​,h1​)=a0​(k0​,k1​)+a1​(k0′​,k1′​)

由 a0(kn)+a1(kn′)∈V(R)a_{0}(k_{n})+a_{1}(k_{n}^{\prime}) \in V(\mathbf{R})a0​(kn​)+a1​(kn′​)∈V(R)，它的第 1,2 个元素正是 h0,h1h_{0}, h_{1}h0​,h1​，(hn)(h_{n})(hn​) 也是 V(R)V(\mathbf{R})V(R) 中元素，它和 a0(kn)+a1(kn′)a_{0}(k_{n})+a_{1}(k_{n}^{\prime})a0​(kn​)+a1​(kn′​) 的最前两个元素相等，故

(hn)=a0(kn)+a1(kn′)(h_{n})=a_{0}(k_{n})+a_{1}(k_{n}^{\prime})(hn​)=a0​(kn​)+a1​(kn′​)

这就证明 (kn),(kn′)(k_{n}), (k_{n}^{\prime})(kn​),(kn′​) 是 V(R)V(\mathbf{R})V(R) 的基，故 V(R)V(\mathbf{R})V(R) 是二维空间。

下面我们设法找出 V(R)V(\mathbf{R})V(R) 的一组具体的基。

我们试着从等比数列中来寻找，即试找非零 q∈Rq \in \mathbf{R}q∈R，令 hn=qnh_{n}=q^{n}hn​=qn，使

hn=hn−1+hn−2,n⩾2h_{n}=h_{n-1}+h_{n-2}, \quad n \geqslant 2hn​=hn−1​+hn−2​,n⩾2

它即为

qn=qn−1+qn−2,n⩾2q^{n}=q^{n-1}+q^{n-2}, \quad n \geqslant 2qn=qn−1+qn−2,n⩾2

它成立当且仅当

q2−q−1=0q^{2}-q-1=0q2−q−1=0

此方程有两个解

q1=1+52,q2=1−52q_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \quad q_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}q1​=21+5​​,q2​=21−5​​

得到 V(R)V(\mathbf{R})V(R) 中的两个序列 (q1n),(q2n)(q_{1}^{n}), (q_{2}^{n})(q1n​),(q2n​)（由 qin=qin−1+qin−2q_{i}^{n}=q_{i}^{n-1}+q_{i}^{n-2}qin​=qin−1​+qin−2​，(qin)∈V(R),i=1,2(q_{i}^{n}) \in V(\mathbf{R}), i=1,2(qin​)∈V(R),i=1,2）。又

(q10,q11)=(1,1+52),(q20,q21)=(1,1−52)(q_{1}^{0}, q_{1}^{1})=\left(1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right), \quad (q_{2}^{0}, q_{2}^{1})=\left(1, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)(q10​,q11​)=(1,21+5​​),(q20​,q21​)=(1,21−5​​)

是 R2\mathbf{R}^{2}R2 的基，故 (q1n)(q_{1}^{n})(q1n​) 和 (q2n)(q_{2}^{n})(q2n​) 是 V(R)V(\mathbf{R})V(R) 的基。

现在可以求出斐波那契数列 (hn)(h_{n})(hn​) 中每个 hnh_{n}hn​ 了。令

{1=h0=a1⋅1+a2⋅1,1=h1=a1⋅1+52+a2⋅1−52\left\{\begin{array}{l}

1=h_{0}=a_{1} \cdot 1+a_{2} \cdot 1, \\

1=h_{1}=a_{1} \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}+a_{2} \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{2}

\end{array}\right.{1=h0​=a1​⋅1+a2​⋅1,1=h1​=a1​⋅21+5​​+a2​⋅21−5​​​

解出它，得

a1=1+525,a2=−1+525a_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}, \quad a_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}a1​=25​1+5​​,a2​=25​−1+5​​

于是 hnh_{n}hn​ 的一般公式是 hn=a1q1n+a2q2nh_{n}=a_{1} q_{1}^{n}+a_{2} q_{2}^{n}hn​=a1​q1n​+a2​q2n​，即

hn=1+525(1+52)n+−1+525(1−52)nh_{n}=\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\frac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}hn​=25​1+5​​(21+5​​)n+25​−1+5​​(21−5​​)n

=15[(1+52)n+1−(1−52)n+1]=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]=5​1​​(21+5​​)n+1−(21−5​​)n+1​

由此例可看出线性空间的基在解决某些问题中的作用。

§ 3 维数 - 基与坐标

定义 2 设 VVV 是数域 PPP 上的一个线性空间,

α1,α2,⋯ ,αr(r⩾1)\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}(r \geqslant 1)α1​,α2​,⋯,αr​(r⩾1)

是 VVV 中一组向量, k1,k2,⋯ ,kk_{1}, k_{2}, \cdots, kk1​,k2​,⋯,k ，是数域 PPP

中的数,那么向量

α=k1α1+k˙2α˙2+⋯+k1α,\boldsymbol{\alpha}=k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\dot{k}_{2} \dot{\boldsymbol{\alpha}}_{2}+\cdots+k_{1} \boldsymbol{\alpha},α=k1​α1​+k˙2​α˙2​+⋯+k1​α,

称为向量组 α1,α2,⋯ ,α\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}α1​,α2​,⋯,α,

的一个线性组合. 此时我们也说向量 α\boldsymbol{\alpha}α 可以经向量组

α1\boldsymbol{\alpha}_{1}α1​, α2,⋯ ,α,\alpha_{2}, \cdots, \alpha_{,}α2​,⋯,α,​线性表出.

定义 3 设

α1,α2,⋯ ,αr;β1,β2,⋯ ,β,\begin{array}{c}

\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r} ; \\

\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta},

\end{array}α1​,α2​,⋯,αr​;β1​,β2​,⋯,β,​

是 VVV 中两个向量组.如果 (1) 中每个向量都可以经向量组

(2)线性表出,那么称向量组 (1) 可以经向量组 (2) 线性表出.如果 (1) 与 (2)

可以互相线性表出,那么向量组 (1) 与 (2) 称为等价的.

定义 4 线性空间 VVV 中向量

α1,α2,⋯ ,αr(r⩾1)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}(r \geqslant 1)α1​,α2​,⋯,αr​(r⩾1)

称为线性相关, 如果在数域 PPP 中有 rrr 个不全为零的数

k1,k2,⋯ ,krk_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}k1​,k2​,⋯,kr​, 使

i1α1+k2α2+⋯+k,αr=0.i_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{,} \boldsymbol{\alpha}_{r}=\mathbf{0} .i1​α1​+k2​α2​+⋯+k,​αr​=0.

如果向量 α1,α2,⋯ ,α\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alphaα1​,α2​,⋯,α, 不线性相关,

就称为线性无关.换句话说, 向量组

α1,α2,⋯ ,α\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alphaα1​,α2​,⋯,α,称为线性无关,如果等式 (3)

只有在 k1=k2=⋯=kt=0k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{t}=0k1​=k2​=⋯=kt​=0 时式成立.

以上定义是大家过去已经熟悉的, 它们是逐字逐句地重复了 nnn

元数组相应概念的定义.不仅如此,在第三章中,从这些定义出发对 nnn

元数组所作的那些论证也完全可以搬到数域 PPP

上的抽象的线性空间中来并得出相同的结论.

我们不再重复这些论证,只是把几个常用的结论叙述如下:

1. 单个向量 α\boldsymbol{\alpha}α 是线性相关的充分必要条件是

α=0\alpha=0α=0. 两个以上的向量

α1,α2,⋯ ,α\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alphaα1​,α2​,⋯,α,线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.

2. 如果向量组

α1,α2,⋯ ,α\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}α1​,α2​,⋯,α,

线性无关, 而且可以经

β1,β2,⋯ ,β\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}β1​,β2​,⋯,β,

线性表出, 那么 r⩽sr \leqslant sr⩽s.

由此推出,两个等价的线性无关的向量组,必定含有相同个数的向量.

3. 如果向量组

α1,α2,⋯ ,α\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}α1​,α2​,⋯,α,

线性无关, 但向量组

α1,α2,⋯ ,α,β\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}α1​,α2​,⋯,α,β

线性相关, 那么 β\boldsymbol{\beta}β

可以经

α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}α1​,α2​,⋯,αr​

线性表出,而且表法是唯一的.

我们知道, 对于几何空间中的向量,线性无关的向量最多是 3 个, 而任意 4

个向量都是线性相关的. 对于 nnn 元数组所成的向量空间,有 nnn

个线性无关的向量, 而任意

n+1n+1n+1个向量都是线性相关的.在一个线性空间中,究竞最多能有几个线性无关的向量,

显然是线性空间的一个重要属性. 我们引人

定义 5 如果在线性空间 VVV 中有 nnn 个线性无关的向量,

但是没有更多数目的线性无关的向量,那么 VVV 就称为 nnn 维的; 如果在 VVV

中可以找到任意多个线性无关的向量,那么 VVV 就称为无限维的.

按照这个定义,不难看出, 几何空间中向量所成的线性空间是三维的; nnn

元数组所成的空间是 nnn 维的;

由所有实系数多项式所成的实线性空间是无限维的, 因为对于任意的 nnn, 都有

nnn 个线性无关的向量

1,x,⋯ ,xn−1.1, x, \cdots, x^{n-1} .1,x,⋯,xn−1.

无限维空间是一个专门研究的对象, 它与有限维空间有比较大的差别.

但是上面提到的线性表出、线性相关、线性无关等性质, 只要不涉及维数和基,

就对无限维空间成立.在本课程中,我们主要讨论有限维空间.

在解析几何中我们看到, 为了研究向量的性质, 引人坐标是一个重要的步骤.

对于有限维线性空间,坐标同样是一个有力的工具.

定义 6 在 nnn 维线性空间 VVV 中, nnn 个线性无关的向量

ε1,ε2,⋯ ,ε0\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{0}ε1​,ε2​,⋯,ε0​ 称为 VVV

的一组基. 设 α\boldsymbol{\alpha}α 是 VVV 中任二向量, 于是

ε1,ε2,⋯ ,εn,α\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}, \boldsymbol{\alpha}ε1​,ε2​,⋯,εn​,α

线性相关, 因此 α\boldsymbol{\alpha}α 可以经

ε1,ε2,⋯ ,εn\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}ε1​,ε2​,⋯,εn​ 线性表出, 即

α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn,\boldsymbol{\alpha}=a_{1} \varepsilon_{1}+a_{2} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{n} \varepsilon_{n},α=a1​ε1​+a2​ε2​+⋯+an​εn​,

其中系数 a1,a2,⋯ ,ana_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}a1​,a2​,⋯,an​ 是被向量 α\boldsymbol{\alpha}α

和基

ε1,ε2,⋯ ,εn\boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}ε1​,ε2​,⋯,εn​

唯一确定的,这组数就称为 α\boldsymbol{\alpha}α 在基

ε1,ε2,⋯ ,εn\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}ε1​,ε2​,⋯,εn​ 下的坐标,

记为 (a1,a2,⋯ ,an)\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)(a1​,a2​,⋯,an​).

由以上定义看来,在给出空间 VVV 的一组基之前,必须先确定空间 VVV 的维数.

实际上,这两个问题常常是同时解决的.

定理 1 如果在线性空间 VVV 中有 nnn 个线性无关的向量

α1,α2,⋯ ,αn\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}α1​,α2​,⋯,αn​, 且 VVV

中任二向量都可以经它们线性表出,那么 VVV 是 nnn 维的, 而

α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}α1​,α2​,⋯,αn​

就是 VVV 的一组基.

证明 既然

α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}α1​,α2​,⋯,αn​

是线性无关的,那么 VVV 的维数至少是 nnn. 为了证明 VVV 是 nnn维的, 只需证

VVV 中任意 n+1n+1n+1 个向量必定线性相关. 设

β1,β2,⋯ ,βn+1\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n+1}β1​,β2​,⋯,βn+1​

是 VVV 中任意 n+1n+1n+1 个向量,它们可以经

α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}α1​,α2​,⋯,αn​

线性表出. 假如它们线性无关, 就有 n+1⩽nn+1 \leqslant nn+1⩽n,于是得出矛盾.

I\mathbf{I}I

下面我们来看几个例子.

例 1 在线性空间 P[x]nP[x]_{n}P[x]n​ 中,

1,x,x2,⋯ ,xn−11, x, x^{2}, \cdots, x^{n-1}1,x,x2,⋯,xn−1

是 nnn 个线性无关的向量, 而且每一个次数小于 nnn 的数域 PPP

上的多项式都可以经它们线性表出,所以 P[x]P[x]P[x], 是 nnn 维的, 而

1,x,⋯ ,xn−11, x, \cdots, x^{n-1}1,x,⋯,xn−1 就是它的一组基.

在这组基下, 多项式 f(x)=a0+a1x+⋯+an−1xn−1f(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}f(x)=a0​+a1​x+⋯+an−1​xn−1

的坐标就是它的系数 (a0,a1,⋯ \left(a_{0}, a_{1}, \cdots\right.(a0​,a1​,⋯,

aa−1)\left.a_{a-1}\right)aa−1​).

如果在 VVV 中取另外一组基

ε1′=1,ε2′=x−a,⋯ ,εn′=(x−a)n−1.\boldsymbol{\varepsilon}_{1}^{\prime}=1, \quad \boldsymbol{\varepsilon}_{2}^{\prime}=x-a, \quad \cdots, \quad \boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{\prime}=(x-a)^{n-1} .ε1′​=1,ε2′​=x−a,⋯,εn′​=(x−a)n−1.

那么按泰勒展开公式

f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+⋯+f(n−1)(a)(n−1)!(x−a)n−1.f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1) !}(x-a)^{n-1} .f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+⋯+(n−1)!f(n−1)(a)​(x−a)n−1.

因此, f(x)f(x)f(x) 在基

ε1′,ε2′,⋯ ,εn′\boldsymbol{\varepsilon}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{\prime}ε1′​,ε2′​,⋯,εn′​

下的坐标是

(f(a),f′(a),⋯ ,f(n−1)(a)(n−1)!).\left(f(a), f^{\prime}(a), \cdots, \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1) !}\right) .(f(a),f′(a),⋯,(n−1)!f(n−1)(a)​).

例 2 在 nnn 维空间 PnP^{n}Pn 中,显然

{ε1=(1,0,⋯ ,0),ε2=(0,1,⋯ ,0),⋯⋯⋯⋯εn=(0,0,⋯ ,1)\left\{\begin{aligned}

\boldsymbol{\varepsilon}_{1}= & (1,0, \cdots, 0), \\

\boldsymbol{\varepsilon}_{2} & =(0,1, \cdots, 0), \\

& \cdots \cdots \cdots \cdots \\

\boldsymbol{\varepsilon}_{n} & =(0,0, \cdots, 1)

\end{aligned}\right.⎩⎨⎧​ε1​=ε2​εn​​(1,0,⋯,0),=(0,1,⋯,0),⋯⋯⋯⋯=(0,0,⋯,1)​

是一组基. 对每一个向量

α=(a1,a2,⋯ ,an)\boldsymbol{\alpha}=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)α=(a1​,a2​,⋯,an​), 都有

α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn.\alpha=a_{1} \varepsilon_{1}+a_{2} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{n} \varepsilon_{n} .α=a1​ε1​+a2​ε2​+⋯+an​εn​.

所以 (a1,a2,⋯ ,an)\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)(a1​,a2​,⋯,an​) 就是向量

α\boldsymbol{\alpha}α 在这组基下的坐标.

不难证明,

{ε1′=(1,1,⋯ ,1),ε2′=(0,1,⋯ ,1),⋯⋯⋯⋯εn′=(0,0,⋯ ,1)\left\{\begin{array}{c}

\boldsymbol{\varepsilon}_{1}^{\prime}=(1,1, \cdots, 1), \\

\boldsymbol{\varepsilon}_{2}^{\prime}=(0,1, \cdots, 1), \\

\cdots \cdots \cdots \cdots \\

\boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{\prime}=(0,0, \cdots, 1)

\end{array}\right.⎩⎨⎧​ε1′​=(1,1,⋯,1),ε2′​=(0,1,⋯,1),⋯⋯⋯⋯εn′​=(0,0,⋯,1)​

是 PnP^{n}Pn 中 nnn 个线性无关的向量. 在基

ε1′,ε2′,⋯ ,εn′\boldsymbol{\varepsilon}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{\prime}ε1′​,ε2′​,⋯,εn′​

下, 对于向量 α=(a1,a2,⋯ ,an)\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)α=(a1​,a2​,⋯,an​), 有

α=a1ε1′+(a2−a1)ε2′+⋯+(an−an−1)εn′.\alpha=a_{1} \varepsilon_{1}^{\prime}+\left(a_{2}-a_{1}\right) \varepsilon_{2}^{\prime}+\cdots+\left(a_{n}-a_{n-1}\right) \varepsilon_{n}^{\prime} .α=a1​ε1′​+(a2​−a1​)ε2′​+⋯+(an​−an−1​)εn′​.

因此, α\boldsymbol{\alpha}α 在基

ε1′,ε2′,⋯ ,εa′\varepsilon_{1}^{\prime}, \varepsilon_{2}^{\prime}, \cdots, \varepsilon_{a}^{\prime}ε1′​,ε2′​,⋯,εa′​

下的坐标为

(a1,a2−a1,⋯ ,an−an−1).\left(a_{1}, a_{2}-a_{1}, \cdots, a_{n}-a_{n-1}\right) .(a1​,a2​−a1​,⋯,an​−an−1​).

例 3 如果把复数域看作是自身上的线性空间,那么它是一维的,数 1 就是一组基;

如果看作是实数域上的线性空间,那么就是二维的,数 1 与 i\mathrm{i}i

就是一组基. 这个例子告诉我们,维数是和所考虑的数域有关的.

应用举例 斐波那契数列及基的概念的应用.

实数序列 (hn)=(h0,h1,h2,⋯ )\left(h_{n}\right)=\left(h_{0}, h_{1}, h_{2}, \cdots\right)(hn​)=(h0​,h1​,h2​,⋯)

满足 h0=h1=1h_{0}=h_{1}=1h0​=h1​=1, 且

hn=hn−2+hn−1,n⩾2,h_{n}=h_{n-2}+h_{n-1}, \quad n \geqslant 2,hn​=hn−2​+hn−1​,n⩾2,

这个序列称为芠波那契数列, 它是由 h0,h1h_{0}, h_{1}h0​,h1​ 及递推关系 (4) 所决定的.

易见所有 hnh_{n}hn​ 都是正整数. 能否找到一个统一的表达式来计算所有的

hnh_{n}hn​ 呢?

下面我们用线性空间和基为工具来解决它, 以后我们在第七章 85

末尾利用矩阵的对角化的工具给出这问题的另一种解法.

我们将所有满足递推关系 (4) 的序列的集合记作 V(R)V(\mathbf{R})V(R). 两个序列

(hn),(hn′)\left(h_{n}\right),\left(h_{n}^{\prime}\right)(hn​),(hn′​)

∈V(R),k∈R\in V(\mathbf{R}), k \in \mathbf{R}∈V(R),k∈R, 令

ln=hn+hn′,kn=khn(n=0,1,2,⋯ ).(ln),(kn)l_{n}=h_{n}+h_{n}^{\prime}, k_{n}=k h_{n}(n=0,1,2, \cdots) .\left(l_{n}\right),\left(k_{n}\right)ln​=hn​+hn′​,kn​=khn​(n=0,1,2,⋯).(ln​),(kn​)

仍满足关系 (4), 即

(ln),(kn)∈V(R)\left(l_{n}\right),\left(k_{n}\right) \in V(\mathbf{R})(ln​),(kn​)∈V(R), 记

(ln)=(hn)+(hn′)\left(l_{n}\right)=\left(h_{n}\right)+\left(h_{n}^{\prime}\right)(ln​)=(hn​)+(hn′​),

称为 (hn)\left(h_{n}\right)(hn​) 与 (hn′)\left(h_{n}^{\prime}\right)(hn′​) 的和. 又记

(kn)=k(hn)\left(k_{n}\right)=k\left(h_{n}\right)(kn​)=k(hn​), 称

为 (hn)\left(h_{n}\right)(hn​) 的 kkk 倍. 这就在 V(R)V(\mathbf{R})V(R)

中定义了加法和数量乘法. 和有限维向量空间 PnP^{n}Pn 一样, V(R)V(\mathbf{R})V(R)

构成实数域 R\mathbf{R}R 上线性空间.

虽然它的元素是无限序列,但下面可证它是 R\mathbf{R}R 上二维空间. 首先对

(hn),(hn′)∈V(R)\left(h_{n}\right),\left(h_{n}^{\prime}\right) \in V(\mathbf{R})(hn​),(hn′​)∈V(R) 有，

(hn)=(hn′)(\left(h_{n}\right)=\left(h_{n}^{\prime}\right)\left(\right.(hn​)=(hn′​)( 即

hn=hn′,n=0,1,2,⋯ )\left.h_{n}=h_{n}^{\prime}, n=0,1,2, \cdots\right)hn​=hn′​,n=0,1,2,⋯) 当且仅当 h0=h_{0}=h0​=

h0′,h1=h1′h_{0}^{\prime}, h_{1}=h_{1}^{\prime}h0′​,h1​=h1′​. 这是由于 (4), 若

h0=h0′,ht=h1′h_{0}=h_{0}^{\prime}, h_{\mathrm{t}}=h_{1}^{\prime}h0​=h0′​,ht​=h1′​, 则所有

hn=hn′(n=0,1,2,⋯ )h_{n}=h_{n}^{\prime}(n=0,1,2, \cdots)hn​=hn′​(n=0,1,2,⋯).

其次在 R2\mathbf{R}^{2}R2 中选任一基 (k0,k1)\left(k_{0}, k_{1}\right)(k0​,k1​) 及

(k0′,k1′)\left(k_{0}^{\prime}, k_{1}^{\prime}\right)(k0′​,k1′​), 它们用递推公式 (4)

决定了两个序列

(kn),(kn′)∈V(R)\left(k_{n}\right),\left(k_{n}^{\prime}\right) \in V(\mathbf{R})(kn​),(kn′​)∈V(R). 由于

(k0,k1)\left(k_{0}, k_{1}\right)(k0​,k1​) 与

(k0′,k1′)\left(k_{0}^{\prime}, k_{1}^{\prime}\right)(k0′​,k1′​) 无关, 故

(kn),(kn′)\left(k_{n}\right),\left(k_{n}^{\prime}\right)(kn​),(kn′​) 无关. 任一

(hn)∈V(R)\left(h_{n}\right) \in V(\mathbf{R})(hn​)∈V(R),因 (k0,k1)\left(k_{0}, k_{1}\right)(k0​,k1​) 与

(k0′,k1′)\left(k_{0}^{\prime}, k_{1}^{\prime}\right)(k0′​,k1′​) 是 R2\mathbf{R}^{2}R2 的基,

必有 a0,a1a_{0}, a_{1}a0​,a1​, 使

(h0,h1)=a0(k0,k1)+a1(k0′,k1′)\left(h_{0}, h_{1}\right)=a_{0}\left(k_{0}, k_{1}\right)+a_{1}\left(k_{0}^{\prime}, k_{1}^{\prime}\right)(h0​,h1​)=a0​(k0​,k1​)+a1​(k0′​,k1′​).

由

a0(kn)+a1(kn′)∈V(R)a_{0}\left(k_{n}\right)+a_{1}\left(k_{n}^{\prime}\right) \in V(\mathbf{R})a0​(kn​)+a1​(kn′​)∈V(R),

它的第 1,2 个元素正是 h0,h1,(hn)h_{0}, h_{1},\left(h_{n}\right)h0​,h1​,(hn​) 也是

V(R)V(\mathbf{R})V(R) 中元素, 它和

a0(kn)+a1(kn′)a_{0}\left(k_{n}\right)+a_{1}\left(k_{n}^{\prime}\right)a0​(kn​)+a1​(kn′​)

的最前两个元素相等, 故

(hn)=a0(kn)+a1(kn′)\left(h_{n}\right)=a_{0}\left(k_{n}\right)+a_{1}\left(k_{n}^{\prime}\right)(hn​)=a0​(kn​)+a1​(kn′​).

这就证明 (kn),(kn′)\left(k_{n}\right),\left(k_{n}^{\prime}\right)(kn​),(kn′​) 是

V(R)V(\mathbf{R})V(R) 的基,故 V(R)V(\mathbf{R})V(R) 是二维空间.

下面我们设法找出 V(R)V(\mathbf{R})V(R) 的一组具体的基.

我们试着从等比数列中来寻找, 即试找非零 q∈Rq \in \mathbf{R}q∈R, 令

hn=qnh_{n}=q^{n}hn​=qn, 使

hn=hn−1+hn−2,n⩾2.h_{n}=h_{n-1}+h_{n-2}, \quad n \geqslant 2 .hn​=hn−1​+hn−2​,n⩾2.

它即为

qn=qn−1+qn−2,n⩾2.q^{n}=q^{n-1}+q^{n-2}, \quad n \geqslant 2 .qn=qn−1+qn−2,n⩾2.

它成立当且仅当

q2−q−1=0q^{2}-q-1=0q2−q−1=0

此方程有两个解

q1=1+52,q2=1−52.q_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \quad q_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} .q1​=21+5​​,q2​=21−5​​.

得到 V(R)V(\mathbf{R})V(R) 中的两个序列

(q1n),(q2n)\left(q_{1}^{n}\right),\left(q_{2}^{n}\right)(q1n​),(q2n​) (由

qin=qin−1+qin−2,(qin)∈V(R),i=1,2)\left.q_{i}^{n}=q_{i}^{n-1}+q_{i}^{n-2},\left(q_{i}^{n}\right) \in V(\mathbf{R}), i=1,2\right)qin​=qin−1​+qin−2​,(qin​)∈V(R),i=1,2).

又

(q10,q11)=(1,1+52),(q20,q21)=(1,1−52)\left(q_{1}^{0}, q_{1}^{1}\right)=\left(1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right), \quad\left(q_{2}^{0}, q_{2}^{1}\right)=\left(1, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)(q10​,q11​)=(1,21+5​​),(q20​,q21​)=(1,21−5​​)

是 R2\mathbf{R}^{2}R2 的基,故 (q1′′)\left(q_{1}^{\prime \prime}\right)(q1′′​) 和

(q2′′)\left(q_{2}^{\prime \prime}\right)(q2′′​) 是 V(R)V(\mathbf{R})V(R) 的基.

现在可以求出䍗波那契数列 (hn)\left(h_{n}\right)(hn​) 中每个 hnh_{n}hn​ 了. 令

{1=h0=a1⋅1+a2⋅1,1=h1=a1⋅1+52+a2⋅1−52.\left\{\begin{array}{l}

1=h_{0}=a_{1} \cdot 1+a_{2} \cdot 1, \\

1=h_{1}=a_{1} \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}+a_{2} \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{2} .

\end{array}\right.{1=h0​=a1​⋅1+a2​⋅1,1=h1​=a1​⋅21+5​​+a2​⋅21−5​​.​

解出它, 得

a1=1+525,a2=−1+525.a_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}, \quad a_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}} .a1​=25​1+5​​,a2​=25​−1+5​​.

于是 hnh_{n}hn​ 的一般公式是 hn=a1q1n+a2q2nh_{n}=a_{1} q_{1}^{n}+a_{2} q_{2}^{n}hn​=a1​q1n​+a2​q2n​, 即

hn=1+525(1+52)n+−1+525(1−52)n=15[(1+52)n+1−(1−52)n+1].h_{n}=\frac{1+\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\frac{-1+\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right] .hn​=25​1+5​​(21+5​​)n+25​−1+5​​(21−5​​)n=5​1​​(21+5​​)n+1−(21−5​​)n+1​.

由此例可看出线性空间的基在解决某些问题中的作用.